Il comportamento di un sistema LTI TC è descritto dalle equazioni ingresso-stato-uscita nel seguente modo: x'(t)=Ax(t)+Bu(t), y(t)=Cx(t)+Du(t). La soluzione x(t) a partire da uno stato iniziale x(0)=x0 e dall'ingresso del segnale u(t) noto viene detta movimento dello stato. Distinguiamo due soluzioni:
-soluzione nel dominio della frequenza (trasformata di Laplace). La soluzione si ottiene trasformando le equazioni ingresso-stato-uscita e calcolando X(s) e Y(s). Antitrasformando X(f), si ricava x(t)=xl(t)+xf(t). La prima componente (movimento libero), dipende solo dallo stato iniziale x0, la seconda (movimento forzato) dipende solo da u(t). Antitrasformando Y(f), si ottiene y(t)=yl(t)+yf(t) (movimento dell'uscita o risposta del sistema). La prima componente (movimento libero), dipende solo dallo stato iniziale x0, la seconda (movimento forzato) dipende solo da u(t). H(s), o matrice di trasferimento, è una matrice che rappresenta il legame tra ingresso-stato-uscita nel dominio della trasformata di Laplace.
-soluzione nel dominio del tempo (formula di Lagrange). x(t)=(exp(At))*x0+ ∫exp(A(t-tao))*Bu(tao)dtao=xl(t)+xf(t), y(t)=Cexp(At)*x0+C∫exp(A(t-tao))Bu(to)dtao+Du(t)= yl(t)+yf(t). Lo svantaggio della formula di Lagrange è che si è costretti ad utilizzare procedimenti di calcolo integrale.
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