Raggiungibilità e controllabilità
Esistono diverse proprietà, che descrivono le possibilità di azione della funzione di ingresso al fine di influenzare il movimento:
-raggiungibilità, descrive la possibilità di modificare lo stato del sistema a partire da un stato iniziale agendo sull'ingresso. Uno stato x* si dice raggiungibile se esiste un istante di tempo t* e una funzione di ingresso u*(t), tali che detto x(t) il movimento dello stato generato da u*(t) a partire dallo stato x0, risulti x(t*)=x*. L'insieme di tutti gli stati raggiungibili rappresenta l'insieme di raggiungibilità (Xr(t*)). Il sottospazio di raggiungibilità è l'insieme di raggiungibilità di dimensione massima, mentre un sistema è detto completamente raggiungibile se Xr=X.
-controllabilità, descrive la possibilità di trasferire o stato del sistema ad un particolare stato finale agendo sull'ingresso. Uno stato x* è controllabile se esiste un istante di tempo t*, una funzione di ingresso u*(t), tali che detto x(t) il movimento dello stato generato da u*(t) a partire da x*, risulti che x*(t)=x0. L'insieme di controllabilità Xc(t) è l'insieme di tutti gli stati controllabili.
Stato zero
Lo stato zero x0 è uno stato prefissato, considerato come obiettivo. Normalmente è uno stato di equilibrio, e coincidente con lo stato nullo.
Proprietà dei sistemi
-Per i sistemi LTI TC, Xr=Xc
-Per i sistemi LTI TD, Xr⊆Xc. Se A non è singolare, Xr=Xc
-Nel caso di sistema LTI TD non completamente raggiungibile si definisce sottospazio di raggiungibilità Xr. La parte raggiungibile è la dim(Xr)=r<n. A Xr sono associati r degli n autovalori di A.
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