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Problema
Ricordiamo che per condurre l'analisi modale di sistemi LTI occorre determinare l'espressione analitica dei modi naturali per ogni autovalore del sistema e valutare il comportamento dei modi naturali a infinito. Per i modi naturali m(k) dei sistemi dinamici a tempo discreto per k>0 valgono le definizioni:
-convergente, se il lim(abs(m(k)))=0
-limitato se 0<abs(k)<M<infinito
-divergente se il lim(abs(m(k)))=infinito
Per evidenziare le differenze dei modi naturali associati alle varie tipologie di autovalori, occorre calcolare la matrice A^k. Per calcolare A^k = TÃT^(-1), con à matrice in forma di Jordan (diagonale o diagonale a blocchi) e T una matrice costante.

Modi naturali
A seconda degli autovalori sono rintracciabili diversi casi. Se il modo naturale λ^k, associato all'autovalore λ è di molteplicità unitaria:
-geometricamente convergente, se abs(λ)<1
-limitato, se abs(λ)=1
-geometricamente divergente, se abs(λ)>1
Se i blocchi di à corrispondono ad una coppia di autovalori complessi coniugati con molteplicità unitaria, i modi naturali nella forma (v^k)*cos(θk),  (v^k)*sin(θk) sono:
-geometricamente convergenti, se abs(λ)=v<1
-limitati (oscillanti), se abs(λ)=v=1
-geometricamente divergenti, se abs(λ)=v>1
Nel caso di autovalori reali multipli i μ' modi naturali sono:
-geometricamente convergenti, se abs(λ)<1
-polinomialmente divergenti, se abs(λ)=1
-geometricamente divergenti, se abs(λ)>1
Nel caso infine di autovalori complessi con molteplicità μ, i modi naturali μ' sono:
-geometricamente convergenti, se abs(λ)=v<1
-polinomialmente divergenti, se abs(λ)=v=1
-geometricamente divergenti, se abs(λ)=v>1