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Sistema
Per sistema si intende un ente dato dall'insieme di più parti elementari per cui vale il principio di azione e reazione. Dato un ingresso del sistema u, si può trovare un'uscita y. y è la variabile di interesse del sistema e il suo andamento è influenzato da u.
Il comportamento di un sistema è dato da un insieme S di relazioni matematiche (modello matematico) che lega tra loro u e y. Dato S e u si può trovare y (previsione), dato s e y si può trovare u (controllo), dato u e y si può ricavare S (identificazione).
I sistemi si possono dividere in:
-sistema statici, per i quali il legame ingresso uscita è istantaneo, nel senso che il valore di y(t) dipende solo dal valore u(t)
-sistema dinamico, per i quali il legame ingresso uscita è dinamico, nel senso che y(t) dipende da tutti i valori di u fino all'istante t.

Definizione di un sistema dinamico
Per riassumere l'insieme dei valori assunti dall'ingresso normalmente si introduce la variabile di stato x(t). Per definire un sistema dinamico si devono definire una serie di insiemi:
-T insieme ordinato dei tempi
-U insieme dei valori assunti dall'ingresso
-Ω insieme delle funzioni di ingresso
-X insieme dei valori assunti della variabile di stato
-Y insieme dei valori assunti dall'uscita
-Γ insieme delle funzioni di uscita
Le funzioni ϕ, η determinano la rappresentazione di stato.
-ϕ, detta movimento dello stato è descritta da x(t)=ϕ(t,τ, x(τ), u), in cui t è l'istante finale, τ, l'istante iniziale, x(τ), valore iniziale dello stato del sistema, u, funzione d'ingresso definita su [τ,t]. Questa funzione soddisfa le proprietà di consistenza, irreversibilità, composizione e causalità.
-η, detta movimento dell'uscita è descritta per un sistema improprio (non fisicamente realizzabile) da y(t)=η(t, x(t), u(t)), e per un sistema proprio da y(t)= η(t, x(t)).

Classificazione dei sistemi dinamici
Se T è contenuto nell'insieme dei reali il sistema è a tempo continuo, se invece è contenuto nell'insieme Z è a tempo discreto.
Per quanto riguarda gli insiemi dei valori di ingresso e di uscita, possiamo avere o sistemi monovariabile, detti SISO, se la molteplicità di U e Y è 1,  oppure multivariabile, detti MIMO, se la molteplicità di U e Y è maggiore di 1.
Per quanto riguarda l'insieme dei valori di X, possiamo avere che il sitema ha dimensione finita se X è contenuto in R con molteplicità finita, sistemi a dimensione infinita nel caso in cui X è contenuto in R con molteplicità infinita, sistemi a stati finiti nel caso in cui X abbia solo valori discreti.
Per quanto riguarda ϕ ed η, il sistema è lineare se U, Ω, X, Y, Γ sono spazi vettoriali, ϕ e η sono lineari in x e u. Il sistema è stazionario (tempo invariante) se ϕ e η non dipendono dal tempo esplicitamente.

Proprietà dei sistemi dinamici
Il movimento x(t) per un sistema dinamico a dimensione finita a tempo continuo è la soluzione di un sistema differenziale del I ordine.
Per un sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo continuo e lineare l'evoluzione dello stato è descritta da un insieme di equazioni differenziali lineari in x(t) e u(t)
Per un sistema dinamico, a tempo continuo e LTI (lineare, tempo-invariante), l'evoluzione temporale dello stato è descritta da un insieme di equazioni lineari in x(t) e u(t) a coefficienti costanti.
Per un sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo discreto l'evoluzione temporale dello stato è descritta da un insieme di equazioni alle differenze finite.
Per un sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo discreto, lineare l'evoluzione temporale dello stato è descritta da un insieme di equazioni alle differenze finite lineari in x(k) e u(k).
Per un sistema dinamico, a dimensione finita, a tempo discreto, LTI, l'evoluzione temporale dello stato è descritta da un insieme di equazioni alle differenze finite lineari in x(k) e u(k) a coefficienti costanti.